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[教程] 画Bezier(贝塞尔)曲线

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发表于 2016-8-15 02:39:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 ruhuasiyu 于 2016-8-16 20:45 编辑
在文章结尾新增了单指令工具,这样不用计算只需要输入控制点即可得到命令。

本文受 http://www.mcbbs.net/thread-565887-1-1.html @林扬骐 启发,但是我觉得原来的作者原理上讲的可能不是很清楚,而且算法(速度)也慢了。

Bezier曲线
首先我就不贴那两张图了。这样的曲线叫做Bezier曲线,n+1个点控制的我们称为n阶Bezier曲线,因为这条曲线的方程式n次的。
例如 n=2 时,对应的曲线一定是抛物线。
2016-08-15_02.41.14.png

过程我不作推导,n次Bezier曲线的方程以向量形式为

                               
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特别地, n=2 时为

                               
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例子和命令
以 P_0=(0,0,0), P_1=(7,6,-10), P_2=(10,1,-3) 为例
P=(-4t^2+14t, -11t^2+12t, 17t^2-20t)

令步数为 N=100, s=100 t, 则
P(s)-P(s-1)=(-0.0008,-0.0022,0.0034)s+(0.1404,0.1211,-0.2017).

我们现在来实现它。首先召唤两个雪球 a 和 b:
  1. summon Snowball ~10 ~5 ~10 {CustomName:"a",CustomNameVisible:1,NoGravity:1}
  2. summon Snowball ~10 ~5 ~10 {CustomName:"b",CustomNameVisible:1,NoGravity:1}
复制代码

然后放置 3 个命令方块, 依次为循环型、连锁型条件保持开启、连锁型条件保持开启并输入命令
  1. tp @e[name=a] ~0.1404 ~0.1211 ~-0.2017
  2. execute @e[name=b] ~ ~ ~ tp @e[name=a] ~-0.0008 ~-0.0022 ~0.0034
  3. execute @e[name=a] ~ ~ ~ summon Snowball ~ ~ ~ {CustomName:"b",CustomNameVisible:1,NoGravity:1}
复制代码


如此第 s 步的时候有 s 个雪球 b,每个雪球 b 将雪球 a 移动 (-0.0008,-0.0022,0.0034),再加上第一个命令的 (0.1404,0.1211,-0.2017), 因此共移动
(-0.0008,-0.0022,0.0034)s+(0.1404,0.1211,-0.2017)=P(s)-P(s-1)。

所以从开始到第 s 步共移动 P(s)-P(0)=P(s),我们成功将雪球 a 移动至 Bezier 曲线上的第 s 的拟合点。

2016-08-15_02.26.17.png

计算公式
对于一般的3个控制点 P_0=(0,0,0), P_1=(a,b,c), P_2=(d,e,f),  设步数为 N,计算出
  1. (2a(N+1)-d)/N^2, (2b(N+1)-e)/N^2, (2c(N+1)-f)/N^2,
  2. (2d-4a)/N^2, (2e-4b)/N^2, (2f-4c)/N^2,
复制代码

将其代入上述两个 execute 命令的相对坐标即可。

如果需要的话可以加一个循环次数的限制,利用计分板即可,原帖中有提及,这里回忆一下:先生成一个记分板
  1. scoreboard objectives add temp dummy
复制代码

再设置循环次数为 100 次
  1. scoreboard players set #n temp 100
复制代码

在原来的命令方块前方和后方各添加
  1. scoreboard players test #n temp 1 10000
  2. scoreboard players remove #n temp 1
复制代码

设置命令方块模式如图
2016-08-15_03.45.30.png

对于n阶Bezier曲线,设步长为 N,将s=Nt 代入公式中计算出 P(s),
然后计算 P(s)-P(s-1) 得到 s 的 n-1 阶多项式,将其从低次到高次的坐标依次代入
  1. tp @e[name=a] ~这里 ~这里 ~这里
  2. execute @e[name=b] ~ ~ ~ tp @e[name=a] ~这里 ~这里 ~这里
  3. execute @e[name=b] ~ ~ ~ execute @e[name=b] ~ ~ ~ tp @e[name=a] ~这里 ~这里 ~这里
  4. ……
  5. 直到 n-1 个 execute @e[name=b] ~ ~ ~ …… execute @e[name=b] ~ ~ ~ tp @e[name=a] ~这里 ~这里 ~这里
复制代码

即可。算法速度为 O(N^n),上述例子大约需执行5000次,时长约数秒。

这是用4条Bezier曲线拟合得到的圆
2016-08-15_03.40.36.png



OOC生成器

如果你觉得上述过程不能理解,你可以直接打开下面的网页,输入控制点的绝对坐标和拟合点的个数,即可生成一条命令,然后将该命令复制到命令方块中执行即可,最后敲到多余的方块。
http://zsx.blog.ustc.edu.cn/wp-c ... 2016/08/bezier.html


每次画完之后请输入
  1. entitydata @e[type=Snowball] {CustomName:""}
复制代码

将雪球的名字去掉,然后再进行下一条曲线的生成。删除上一次生成的曲线只需
  1. kill @e[type=Snowball,name=a]
  2. kill @e[type=Snowball,name=b]
复制代码

删除所有曲线输入
  1. kill @e[type=Snowball]
复制代码

因为这几条命令比较简单我就没加到OOC里面了。

以下是利用OOC得到的控制点为 (0,20,0),  (0,20,20),  (20,20,20) 得到的近似1/4圆。 2016-08-16_20.33.00.png









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参与人数 7人气 +10 金粒 +60 收起 理由
1366020327 + 1 + 10 MCBBS有你更精彩~
Zero_Exact + 2 + 25 卧槽
『小亮D』 + 5 高能 虽然看不懂
林扬骐 + 2 + 15 其实意思都一样,不过这个帖貌似讲的更清楚.
FHC红石 + 3 最近高产啊
tea_sb + 1 + 5 楼主好6
=w=_Agus + 1 666

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发表于 2016-8-15 07:41:00 | 显示全部楼层
这玩意可以拿来当装饰,并木有实际意义~

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你可以将雪球替换成方块来盖建筑  详情 回复 发表于 2016-8-15 12:38
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发表于 2016-8-15 07:54:16 | 显示全部楼层
这都是高科技,
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发表于 2016-8-15 08:32:20 | 显示全部楼层
{:10_496:}虽然我用不到 但是好厉害
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发表于 2016-8-15 10:12:12 | 显示全部楼层
把雪球换成带着方块的盔甲架就能做彩虹了23333
初三表示看不懂乱七八糟的公式了
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发表于 2016-8-15 10:20:32 | 显示全部楼层
我看了一下这个帖子,难道说这个数字,是你自己打进去而不是通过cb阵列自行计算的吗?

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我在结尾加了一个计算工具来得到OOC,这样就不用计算啦  详情 回复 发表于 2016-8-16 20:28
首先我觉得只是小学数学,拿计算器算一下就好了嘛 当然也可以用计分板算,不过总得有一个初始的输入,将曲线的参数带进去  详情 回复 发表于 2016-8-15 12:39
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发表于 2016-8-15 11:00:43 | 显示全部楼层
初二党表示智商不够。
敢问Lz学历几何?

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参与人数 1人气 +1 收起 理由
ruhuasiyu + 1 这只用了一点向量的知识,学历怕吓到你就不.

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头像被屏蔽
发表于 2016-8-15 11:16:41 | 显示全部楼层
可以做太极Get
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发表于 2016-8-15 11:18:55 | 显示全部楼层
都用到高中的知识了= =
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 楼主| 发表于 2016-8-15 12:38:07 | 显示全部楼层
pylsdani 发表于 2016-8-14 16:41
这玩意可以拿来当装饰,并木有实际意义~

你可以将雪球替换成方块来盖建筑
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 楼主| 发表于 2016-8-15 12:39:24 | 显示全部楼层
乙烯_中国 发表于 2016-8-14 19:20
我看了一下这个帖子,难道说这个数字,是你自己打进去而不是通过cb阵列自行计算的吗? ...

首先我觉得只是小学数学,拿计算器算一下就好了嘛
当然也可以用计分板算,不过总得有一个初始的输入,将曲线的参数带进去

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向量都用矩阵表示了还是小学数学?  详情 回复 发表于 2016-8-15 15:39
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发表于 2016-8-15 15:39:13 | 显示全部楼层
ruhuasiyu 发表于 2016-8-15 12:39
首先我觉得只是小学数学,拿计算器算一下就好了嘛
当然也可以用计分板算,不过总得有一个初始的输入,将 ...

向量都用矩阵表示了还是小学数学?

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参与人数 1人气 +1 收起 理由
ruhuasiyu + 1 我不是说原理,我是说用公式计算。。。.

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发表于 2016-8-15 19:23:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 林扬骐 于 2016-8-15 19:26 编辑

其实意思都差不多,不过这个这个帖子貌似更清楚明了些XD
lz你家什么电脑啊为什么二次曲线只要数秒啊我家电脑都要将近一分钟我当初为了更易理解改过一次自己结果发现好像更不容易理解了然而改不回来了

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你每次都在原点召唤a,而我是在b处召唤a,因此我每次只需要平移 P(s)-P(s-1) 这么多就可以了,这样做一次差分后就从二次变为线性,总复杂度就从 O(n^3) 变成了 O(n^2),自然快多了。 不过我试了三次曲线的情形也没  详情 回复 发表于 2016-8-15 19:29

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参与人数 1人气 +1 收起 理由
ruhuasiyu + 1 我加了一个命令生成工具在结尾,这样就不用.

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 楼主| 发表于 2016-8-15 19:29:40 | 显示全部楼层
林扬骐 发表于 2016-8-15 04:23
其实意思都差不多,不过这个这个帖子貌似更清楚明了些XD
lz你家什么电脑啊为什么二次曲线只要数秒啊我家 ...

你每次都在原点召唤a,而我是在b处召唤a,因此我每次只需要平移
P(s)-P(s-1)
这么多就可以了,这样做一次差分后就从二次变为线性,总复杂度就从 O(n^3) 变成了 O(n^2),自然快多了。

不过我试了三次曲线的情形也没有你说的那么慢,难道是因为你用的药水云导致的?

ps 我用的是陈年老笔记本电脑,装两个 mod 就卡的那种。

点评

(回去继续看了下自己的帖子,然后又自己算了一下)嘛,的确,如果是“n-(n-1)”的方法可以少一个次方 (当时也有想过使用从n-1到n的方法,但是发现:太!难!算!了!于是就没有再考虑,现在才发现可以降阶)  详情 回复 发表于 2016-8-15 22:58

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参与人数 1人气 +2 金粒 +35 收起 理由
林扬骐 + 2 + 35 可以哈,是可以更快

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发表于 2016-8-15 22:58:11 | 显示全部楼层
ruhuasiyu 发表于 2016-8-15 19:29
你每次都在原点召唤a,而我是在b处召唤a,因此我每次只需要平移
P(s)-P(s-1)
这么多就可以了,这样做一次 ...

(回去继续看了下自己的帖子,然后又自己算了一下)嘛,的确,如果是“n-(n-1)”的方法可以少一个次方
(当时也有想过使用从n-1到n的方法,但是发现:太!难!算!了!于是就没有再考虑,现在才发现可以降阶)

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参与人数 1金粒 +10 收起 理由
ruhuasiyu + 10 看来你还得像你头像那样学数学(偷笑).

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